Trò chơi và bài toán về rubik

Hân cầm cục rubik đưa cho Kiên và khoe: "Xem này tớ xoay đủ 6 mặt hết chưa đầy một phút!".

Kiên cầm cục rubik đã hoàn thành 6 mặt ngắm nghía hồi lâu rồi nghĩ ra một "kế". Kiên lấy bút vẽ lên tất cả các mặt của rubik mỗi mặt gồm những mũi tên cùng chiều ở mỗi ô, duy nhất mặt màu đỏ thì Kiên vẽ mũi tên ở ô chính giữa vuông góc với các mũi tên ở xung quanh (Xem hình a) rồi đem đố Hân làm sao xoay lại cho đúng chiều.

 

rubik.png

a) Hân có xoay rubik được theo yêu cầu của Kiên không? Vì sao?

b) Nếu Kiên vẽ mũi tên như hình b) thì Hân có xoay lại được không? Hãy chỉ cho Hân cách xoay rubik lại trong trường hợp này nếu bạn giải được!

c) Ta gọi các mặt rubik là a,b,c,d,e,g mỗi phép xoay sẽ được ký hiệu là +,,2 và được viết như là chỉ số của mặt ("+" tương ứng với xoay +90, "-" là xoay 90 còn 2 là xoay 180). Ta được tập hợp mẫu E:

E={a+,a,a2,...,g+,g,g2}

L là một dãy hữu hạn các phần tử L={x1,x2,...,xk} trong đó xiE,i=1,k¯¯¯¯¯¯¯ được gọi là dãy lệnh

 

Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên n để sau khi áp dụng n lần liên tiếp dãy lệnh L, rubik sẽ trở lại trạng thái ban đầu!

Nguồn: http://diendantoanhoc.net/