Henri Poincaré - một nhà bác học đại tài người Pháp. Một trong những vĩ nhân kiệt xuất với tầm ảnh hưởng sâu rộng đến khoa học - kỹ thuật và toán học xuyên suốt thế kỷ XX. Một trong những công trình ông đã để lại cho nhân loại chính là bài toán thiên niên kỷ đầu tiên được giải vào năm 2006: giả thuyết Poincaré !

Tiến sĩ Grigori Perelman tại Viện toán học Steklov, thuộc Viện hàn lâm khoa học Nga ở St Petersburg, mới đây tuyên bố rằng ông đã chứng minh được giả thuyết Poincaré (Poincaré Conjecture) - một trong 7 định lý quan trọng nhất trong thiên niên kỷ thứ 2 chưa được làm sáng tỏ...

Henri Poincaré (1854-1912), nhà toán học và vật lý thiên tài, nêu lên giả thuyết Poincaré vào năm 1904.

Tờ New York Times ngày 15/4 nhận định: nếu chứng minh của Perelman được công nhận thì đây sẽ là một sự kiện lớn của toán học thế giới, và Perelman sẽ được Viện toán học Clay thuộc Đại học Cambridge ở Anh trao tặng giải thưởng trị giá 1 triệu USD (ngang với giải Nobel).

Cuộc hành trình của Perelman

Tiếng đồn về công trình của Perelman đã lan truyền rộng rãi từ tháng 11 năm ngoái sau khi ông công bố trên Internet những kết quả chính trong công trình của ông. Trong suốt mấy tháng qua, Perelman đã gặp gỡ các đồng nghiệp tại Mỹ để trao đổi và đã có 2 cuộc báo cáo chuyên môn tại Đại học MIT ở Massachusetts và Đại học New York ở Stony Brook. Tuy nhiên, đến nay Perelman vẫn chưa công bố công trình của mình trên bất kỳ một ấn bản khoa học chính thức nào. Ông từ chối phỏng vấn, nói rằng điều này còn quá sớm. Tờ New York Times cho biết sẽ còn phải mất nhiều tháng trời để các nhà toán học khác xem xét lại thật kỹ càng từng chi tiết nhỏ nhặt trong chứng minh của Perelman, trước khi đi đến kết luận cuối cùng.

Không khí căng thẳng này làm người ta nhớ đến khung cảnh thế giới toán học năm 1993, khi Andrew Wiles lần đầu tiên trình bày công khai chứng minh của mình đối với Định lý cuối cùng của Fermat, trước các nhà toán học tại Đại học Princeton. Lần ấy, chính Wiles đã phát hiện ra sai lầm của mình, và phải mất hơn một năm trời để sửa chữa chứng minh rồi mới đi đến thắng lợi. Dường như Perelman đã học được bài học đó. Điều lý thú là cách làm việc của hai nhà toán học này rất giống nhau. Cả hai cùng đơn thương độc mã đương đầu với một thách thức thuộc tầm cỡ ghê gớm nhất đối với bộ não của con người. Nếu Wiles đã dành trọn 7 năm cho bài toán Fermat, thì Perelman cũng đã mất 8 năm cho bài toán Poincaré (*xem cuối bài). Giờ đây nhân loại đang hồi hộp chờ đợi xem liệu số phận cuối cùng của Perelman có trùng lặp với Wiles hay không, nghĩa là chứng minh của Perelman có thực sự đi đến đích hay không.

Lược sử chứng minh giả thuyết Poincaré

Lịch sử chứng minh giả thuyết Poincaré và Định lý cuối cùng của Fermat có những nét tương phản thú vị.

Với n=2 (n là số mũ của x, y, z trong phương trình), Định lý cuối cùng của Fermat chính là định lý Pythagoras. Sau gần 3 thập kỷ thất bại trong việc tìm một chứng minh tổng quát, các nhà toán học lao vào kiểm nghiệm định lý này bằng computer: thay số mũ n bằng những giá trị cụ thể, đặc biệt bằng những số nguyên tố rất lớn, hy vọng tìm thấy một trường hợp sai. Nhưng tất cả các trường hợp thử đều dẫn tới kết luận định lý đó đúng, không hề có trường hợp nào sai cả. Vì thế có một thời người ta ngờ rằng định lý này thuộc loại bài toán không thể quyết định được (undecidable), tức là nó đúng nhưng không thể chứng minh được và cũng không thể phủ định được.

Tư tưởng này bắt nguồn từ hai lý do: Một, nhân loại đã phải trả một giá quá đắt cho chứng minh - gần 3 thế kỷ nhưng không đạt được kết quả nào; hai, Định lý Bất toàn (Theorem of Incompleteness) của Kurt Godel công bố năm 1931, khẳng định rằng trong toán học tồn tại những mệnh đề không quyết định được. Đó là bối cảnh phức tạp của Định lý cuối cùng Fermat từ những năm 1930 đến cuối thế kỷ 20. Bối cảnh đó càng phức tạp bao nhiêu càng làm nổi bật công trình chứng minh của Andrew Wiles bấy nhiêu. Đó thực sự là một kỳ công của trí tuệ, bằng chứng cho thấy bộ não của con người là một cái gì đó mà computer không bao giờ có thể sánh kịp. Nhưng định mệnh thật mỉa mai: Giải thưởng trị giá khoảng 1,7 triệu USD do Đại học Gottingen hứa trao tặng cho người đầu tiên chứng minh được Định lý cuối cùng của Fermat đã không bao giờ đến tay Andrew Wiles.

Trong khi đó, mặc dù việc chứng minh giả thuyết Poincaré chưa đi đến đích cuối cùng, nhưng bài toán này đã chiếm tới 3 giải thưởng Fields. Đó là kỷ lục dành cho một định lý. Có lẽ chỉ có cách giải thích chuyện trớ trêu này là: Tầm quan trọng của chính bài toán đối với khoa học và mức độ khó khăn phi thường trong chứng minh của nó.

Sau nữa, trình tự chứng minh giả thuyết Poincaré thật "ngược đời". Trường hợp bài toán trong không gian nhiều chiều hơn lại được chứng minh trước, ít chiều hơn được chứng minh sau. Dường như chứng minh trong không gian có số chiều càng thấp lại càng khó! Thực tế đúng như vậy.

Không nên quên rằng Poincaré đã lao vào chứng minh trường hợp không gian 3 chiều, nhưng thất bại. Ban đầu ông tưởng rằng đã tìm ra lời giải, nhưng rồi chính ông lại phát hiện ra sai lầm của mình.

Tình trạng lại càng rối mù vào những năm 1950, khi một nhà toán học Nga chứng minh rằng giả thuyết Poincaré là bài toán bất khả (không giải được) với n=4 và thậm chí với n=3. Nhiều người tin vào kết luận này, vì quả thật Poincaré đã thất bại với bài toán n=3. Nhưng may thay chẳng bao lâu sau, nhận định này bị thực tiễn bác bỏ.

Năm 1966, Stephen Smale được nhận giải thưởng Fields vì đã chứng minh được giả thuyết Poincaré đúng với n=5 và n>5.

Trong những năm 1970, William Thurston, giáo sư Đại học California, đoạt giải Fields vì chứng minh rằng các đa tạp 3 chiều được cấu thành bởi nhiều mảnh đồng nhất, những mảnh này chỉ có thể liên kết với nhau theo những ràng buộc nhất định. Chứng minh này được đánh giá là đóng góp lớn vào việc chứng minh giả thuyết Poincaré.

Năm 1982, Michel Friedman lại đoạt giải Fields vì chứng minh được giả thuyết Poincaré đúng với n=4.

Từ đó đến nay chỉ còn lại trường hợp n=3, đó là bài toán nguyên thủy của giả thuyết Poincaré và là trường hợp khó nhất mà toàn thế giới đang hy vọng vào chứng minh của Perelman.

Người theo dõi công trình của Perelman sát sao nhất hiện nay là Tomasz Mrowka, tiến sĩ toán học thuộc MIT - Đại học công nghệ Massachusetts. Theo Mrowka, công trình của Perelman liên hệ chặt chẽ với những tư tưởng tiên phong của Richard Hamilton, một nhà toán học nổi danh hiện nay thuộc Đại học Columbia. Hamilton là người sáng tạo ra một kỹ thuật mang tên “dòng chảy Ricci”, một công cụ mới mẻ và có nhiều ứng dụng quan trọng trong lĩnh vực nghiên cứu các đa tạp.

Mrowka nhận định “Đây là một trong những sự kiện đáng vui mừng, dù thế nào chăng nữa thì kết thúc vẫn cứ tốt đẹp. Hoặc là ông ấy (Perelman) chứng minh được giả thuyết, hoặc nếu không ít nhất ông ấy cũng sẽ thật sự tạo ra một tiến bộ hết sức quan trọng, và chúng ta sẽ học hỏi được rất nhiều ở đó”.

(*) Giả thuyết Poincaré

Giả thuyết Poincaré là bài toán trung tâm của lý thuyết topo (topology), được nêu lên năm 1904, bởi nhà toán học người Pháp Henri Poincaré, người được mệnh danh là Mozart của toán học và là một trong hai trụ cột của toán học thế kỷ 20 (trụ cột thứ hai là David Hilbert).

Nếu nội dung cơ bản của Định lý cuối cùng của Fermat rất dễ hiểu ngay với cả học sinh phổ thông thì giả thuyết Poincaré lại khá phức tạp, khó hiểu ngay cả với những người làm khoa học kỹ thuật. Tuy nhiên, ta có thể tiếp cận tới giả thuyết này bằng con đường giản lược và trực quan, bằng cách bám rễ vào bài toán trong không gian 2 chiều, bài toán đơn giản nhất để từ đó hiểu nội dung của bài toán tổng quát.

Bài toán hai chiều đã được biết từ thế kỷ 19.

Thế kỷ 19 là thế kỷ thắng lợi vĩ đại của hình học với sự ra đời của hình học Phi-Euclid. Sự tồn tại của nhiều không gian hình học khác nhau nhưng tất cả đều hợp lý đã gợi ý các nhà khoa học đi tìm bản chất thật sự của không gian. Người có công lớn nhất trong những nghiên cứu này trước hết phải kể đến là Bernhard Riemann với lý thuyết về các đa tạp nhiều chiều (manyfolds). Người thứ hai là Henri Poincaré, với việc phát minh ra topo đại số. Bài toán cơ bản nhất của topo là bài toán khảo sát sự khác nhau về bản chất hình học giữa mặt cầu với mặt xuyến (mặt torus).

Mặt xuyến (torus) trên đó tồn tại những đường cong khép kín không thể thu nhỏ lại thành một điểm.

Để phát hiện sự khác nhau giữa mặt cầu với mặt xuyến, các nhà toán học xét một đường cong khép kín, giống như một “vòng thòng lọng”, nằm trên các mặt cong đó. Nếu tùy ý thu nhỏ chu vi của đường cong này, tức là nếu “siết chặt thòng lọng” thì điều gì sẽ xảy ra?

Với mặt cầu, dễ thấy rằng diện tích giới hạn bởi đường cong sẽ nhỏ dần tới 0 và quá trình này không gây ra sự hủy hoại nào đối với mặt cầu. Nói cách khác, “thòng lọng” sẽ co rút lại thành một điểm mà vẫn bảo toàn mặt cầu. Nhưng tình hình với mặt xuyến hoàn toàn khác: trên mặt xuyến ta dễ dàng tìm được vô số “vòng thòng lọng” sao cho khi co rút lại thành một điểm, “thòng lọng” đó sẽ cắt ngang thân hình xuyến - làm rách mặt xuyến.

Đó là đặc trưng phân biệt mặt cầu với mặt xuyến. Đặc trưng này có thể diễn đạt theo một cách khác như sau:

Hình xuyến chẳng qua là kết quả của việc bóp một hình cầu - làm biến dạng hình cầu - sao cho đến một lúc nào đó quả cầu bị thủng một lỗ. Chú ý rằng khi bóp quả cầu, cho dù mặt cầu bị méo mó biến dạng (co, dãn, vặn vẹo) nhưng nếu chừng nào nó chưa rách, hoặc chưa bị thủng thì đặc trưng “vòng thòng lọng” vẫn được bảo toàn. Đặc trưng này chỉ biến mất khi mặt cầu bị thủng, tức là lúc mặt cầu biến thành mặt xuyến.

Vậy tất cả những mặt cầu từ nguyên thủy đến lúc biến dạng nhưng chưa thủng đều có đặc trưng “vòng thòng lọng” giống nhau. Để cho gọn, ta gọi tất cả những mặt cầu đó là không gian hai chiều khép kín không thủng (chú ý rằng quả cầu là không gian 3 chiều, nhưng mặt cầu là không gian hai chiều, mặc dù nó cong).

Từ đó các nhà toán học thế kỷ 19 đã chứng minh được một định lý quan trọng:

Không gian 2 chiều khép kín không thủng là duy nhất, ý nói rằng tất cả mọi không gian hai chiều khép kín không thủng đều có đặc trưng hình học như nhau, do đó giữa chúng không có sự phân biệt, tất cả những không gian đó được coi là một - duy nhất. Thí dụ, mặt cầu và mặt của một khối hộp lập phương tuy hình dạng trông khác nhau nhưng dưới con mắt của topo học chúng là một - chúng đều là không gian hai chiều khép kín không thủng.

Định lý này có đúng trong không gian có số chiều lớn hơn hai không? Câu hỏi này nảy sinh trong óc Poincaré và trực giác thiên tài của ông đã trả lời:

Không gian ba chiều khép kín không thủng là duy nhất.

Đó là giả thuyết Poincaré nguyên thủy. Gọi nó là giả thuyết vì đến nay chưa ai chứng minh được. Poincaré đã tổng quát hóa giả thuyết của mình trong không gian n chiều, trong đó “mặt cầu n chiều” được Poincaré gọi là “mặt-siêu-cầu” (hypersphere).

Trong toán học, bài toán này không phải được giải quyết bằng trực quan hình học như chúng ta đang trao đổi, mà bằng các phương trình đại số. Vì thế lý thuyết topo của Poincaré được gọi là topo đại số và Poincaré được tôn vinh là cha đẻ của topo đại số.

Nguồn: Sưu tầm